Possion Distribution에서 𝜆를 구하기

문제

• ISP(Internet Service Provider에 t 시점에 도달하는 Ping의 수를 $X_t$라고 하
• 이 때 $X_t$는 Random Variable이고 매 10초마다 Ping의 없는 확률을 0.001이라고 할 때, 30초 내에 Ping이 10번이상 올 확률은 얼마인가?

해결

• $X_{t} \sim \text{Poisson}(\lambda t)$ 형태로 식을 정리할 수 있다.
• $0.001 = P(X_{10}=0) = \frac{\exp(-10\lambda)(10\lambda)^{0}}{0!} = \exp(-10\lambda) $ 이므로 $\lambda = \frac{-\log(0.001)}{10} $이다.
• 이를 기반으로 30초 내에 0번일 확률을 구하면 다음과 같다. 이때 Poisson Distribution의 PDF식은 다음과 같으니 해당 식에 값을 넣어서 $\lambda$를 구해준다.

$$P(X=x)=e^{-\lambda }\cdot \frac{\lambda ^x}{x!}$$

$$P(X_{30}=0) = \frac{\exp(3\log(0.001))(-3\log(0.001))^{0}}{0!}  = (0.001)^{3}$$

• 여기서 유추할 수 있는 특성은 다음과 같다. ${30 \over  10}=3$이라서 지수로 3이 위 식에 붙은 것을 알 수 있다.

$$P(X_{t_2}=0)=P(X_{t_1}=0)^{\frac{t_2}{t_1}}$$

• 이를 바탕으로 30초 내에 Ping이 10번 이상 올 확률을 구할 수 있다. 이때 $\Phi$를 표준정규분포의 CDF(Cumulative Distribution Function)라고 한다면 전체 식은 다음과 같다. Poission Distribution의 Mean과 Variance는 $\lambda$로 동일하다.

$$P(X_{30} \geq 10) = P\left(\frac{X_{30}-E[X_{30}]}{\sqrt{Var[X_{30}]}} \geq \frac{10-E[X_{30}]}{Var[X_{30}]} \right) \\ = P\left(\frac{X_{30}-E[X_{30}]}{\sqrt{Var[X_{30}]}} \geq \frac{10-30\lambda}{\sqrt{30\lambda}} \right) \\ \approx 1-\Phi\left(\frac{10-30\lambda}{\sqrt{30\lambda}}\right) \\ \approx 1-\Phi\left(-2.36\right) \\ \approx 1-0.009=0.991$$

References

• Finding λ in a Poisson distribution