By Bongho, Lee in Data — 2022년 6월 27일

Model Specification

Model Criteria

Model은 다음 기준이 고려될 때 좋은 모델로 평가될 수 있다.
Model should be simple
- Model World는 Real World를 단순하게 형상화 한 것으로, 가급적 변수 수는 적을 수록 좋고, Real World의 핵심적인 현상에 대해서 표현하는데 초점을 맞춰야 한다. 이를 위해서 할 수 있는 방법은 대략 다음과 같다
- Eliminating Less Relevant Variables
- Clustering of Variables
- Introducing Relative Variables
- Phasing Variables over DIfferent Levels
Model should be built in an evolutionary way
- Simple하게 시작해서 점차 Detail을 추가해 나간다.
Model should be complete on important issues
Model should be adaptive
Model should be robust

Dependent, Indepedent Variable이 결정되면 이제 변수간의 관계를 어떻게 수리적으로 표현할지를 결정해야 한다. 이 때 일반적으로 쓰이는 수리적인 Form은 다음과 같다.

$$y_t = \alpha + \beta_1x_{1t} + \beta_2x_{2t}$$

Additive Model로 Independent Variable 각각의 Effect 의 합은 그들의 Joint Effect와 동일하다.
단점
- 각 Independent Variable의 Parameter가 x배 증가하면 Depedent Variable 역시 x배 증가한다는 "constant returns to scale" 가정을 전제해두고 있음
- Variable간 Interaction이 없다고 가정

$$y_t = \alpha + \beta_1e^{x_{1t}} + \beta_2e^{x_{2t}}$$

Non Linear Additive Model
$e^{x_{1t}}$를 $x^*_{1t}$로 바꾸는 식으로 해서 Linear Additive Model로 바꿀 수 있음
과포화(Supersaturation)이 발생해서 상식에 반하는 결과가 나올 수 있는 범위에 대한 이해가 충분히 있어야 한다.
- $q_t = \alpha + \beta \sqrt{a_t} + \epsilon_t$이라는 식이 있다고 하자 $q_t$는 판매량이고 $a_t$는 광고물량이라고 할 때 $\beta$를 구하기 위해서 $q_t$를 $a_t$로 미분하면 $\beta \over 2\sqrt{a_t}$가 나오게 되는데 이는 광고물량이 증가할 수록 Margial Sales Effect가 0에 수렴한다는 결과로 나와 상식에 반할 수 있게 된다.

$$y_t = \alpha x^{\beta_1}_{1t}...$$

$$y_t=\alpha(1-e^{-\beta x_t})\epsilon_t, with \quad \alpha > 0, and \quad \beta > 0.$$

주로 계량 경제학의 추정 방법이 일반적으로 모델을 매개변수에서 선형으로 가정했기 때문 과거에는 어떻게든 선형화를 한 이후에 문제를 풀려고 했지만 지금은 크게 문제되지 않음
Modified Exponential Model로 $x_t$가 0으로 가면 $y_t$도 0으로 가고, $x_t$가 무한에 가까워지면, $y_t$는 $\alpha$에 가까워진다.