Model Specification

Model Criteria

• Model은 다음 기준이 고려될 때 좋은 모델로 평가될 수 있다.
• Model should be simple
  • Model World는 Real World를 단순하게 형상화 한 것으로, 가급적 변수 수는 적을 수록 좋고, Real World의 핵심적인 현상에 대해서 표현하는데 초점을 맞춰야 한다. 이를 위해서 할 수 있는 방법은 대략 다음과 같다
  • Eliminating Less Relevant Variables
  • Clustering of Variables
  • Introducing Relative Variables
  • Phasing Variables over DIfferent Levels
• Model should be built in an evolutionary way
  • Simple하게 시작해서 점차 Detail을 추가해 나간다.
• Model should be complete on important issues
• Model should be adaptive
• Model should be robust

Specification of the Functional Form

• Dependent, Indepedent Variable이 결정되면 이제 변수간의 관계를 어떻게 수리적으로 표현할지를 결정해야 한다. 이 때 일반적으로 쓰이는 수리적인 Form은 다음과 같다.

linear in both parameters and variables

$$y_t = \alpha + \beta_1x_{1t} + \beta_2x_{2t}$$

• Additive Model로 Independent Variable 각각의 Effect 의 합은 그들의 Joint Effect와 동일하다.
• 단점
  • 각 Independent Variable의 Parameter가 x배 증가하면 Depedent Variable 역시 x배 증가한다는 "constant returns to scale" 가정을 전제해두고 있음
  • Variable간 Interaction이 없다고 가정

nonlinear in the variables, but linear in the parameters

$$y_t = \alpha + \beta_1e^{x_{1t}} + \beta_2e^{x_{2t}}$$

• Non Linear Additive Model
• $e^{x_{1t}}$를 $x^*_{1t}$로 바꾸는 식으로 해서 Linear Additive Model로 바꿀 수 있음
• 과포화(Supersaturation)이 발생해서 상식에 반하는 결과가 나올 수 있는 범위에 대한 이해가 충분히 있어야 한다.
  • $q_t = \alpha + \beta \sqrt{a_t} + \epsilon_t$이라는 식이 있다고 하자 $q_t$는 판매량이고 $a_t$는 광고물량이라고 할 때 $\beta$를 구하기 위해서 $q_t$를 $a_t$로 미분하면 $\beta \over 2\sqrt{a_t}$가 나오게 되는데 이는 광고물량이 증가할 수록 Margial Sales Effect가 0에 수렴한다는 결과로 나와 상식에 반할 수 있게 된다.

nonlinear in the parameters and linearizable

$$y_t = \alpha x^{\beta_1}_{1t}...$$

• Log를 취하면 Linearie할 수 있다.
• 필요하면 Log를 두 번 취해주는 Log-Log를 통해서 Linearize할 수 있다.

nonlinear in the parameters and not linearizable.

$$y_t=\alpha(1-e^{-\beta x_t})\epsilon_t, with \quad \alpha > 0, and \quad \beta > 0.$$

• 주로 계량 경제학의 추정 방법이 일반적으로 모델을 매개변수에서 선형으로 가정했기 때문 과거에는 어떻게든 선형화를 한 이후에 문제를 풀려고 했지만 지금은 크게 문제되지 않음
• Modified Exponential Model로 $x_t$가 0으로 가면 $y_t$도 0으로 가고, $x_t$가 무한에 가까워지면, $y_t$는 $\alpha$에 가까워진다.