Vector Space, Linear Independent, Basis

Vector Space

• 집합 내 원소간 대한 덧셈과 상수곱을 했을 때 결과가 모두 해당 집합에 속하고, 다음 조건을 만족하는 집합을 Vector Space라고 정의한다
• 합에 대하여
  • 교환법칙: $a + b = b + a$
  • 결합법칙 $(a + b) + c = a + (b + c)$
  • 항등원: $a + 0 = a$
  • 역원: $a + (-a) = 0$
• 상수곱에 대하여
  • 분배법칙
    • $c(a + b) = ca + cb$
    • $(c + k)a = ca + ka$
  • $c(ka) = (ck)a$
  • $1a = a$
• 좌표공간의 모든 원소나 함수의 집합도 Vector Space라고 할 수 있다

Linear Independent

• $v_1...v_n \in W \subseteq V$라고 하고 \vec{A}와 \vec{B}가 원소일 때 여기에 덧셈을 하든 상수곱을 한 원소가 모두 $W$에 속한다고 할 때 $W$는 VectorSpace라고 할 수 있다.
• 이 때 상수곱을 하는 것을 Span한다고 하고 선형결합이라고 한다.
• Spanc Space가 커져서 아예 $V$와 동일해질 수 있다. 즉 $V$안의 모든 원소를 $v_1...v_n$의 모든 원소의 선형결합으로 나타낼 수도 있다.
• 이때 특정 Vector에 대해서 $v_1$, $v_2$로 표시할 수 있는 방법이 하나만 존재한다고 할 때 $v_1$과 $v_2$는 선형독립이다라고 말한다.
• Vecotr Sapce의 원소 $v$를 특정 Vector의 Linear Combination($v = c_1 v_1 + ... c_n v_n$)로 표현했을 때 $(c_1 + ... c_n)$이 순서쌍이 하나만 존재함을 말한다.
• 만약 $v$를 $(c_1 + ... c_n)$외에도 $(d_1 + ... d_n)$이 있다고 가정할 때 두 선형결합간에 뺄셈을 했을 때 $c_1-d_1 = c_2-d_2 = c_n -d_n$이 0이 되어야 한다는 것을 말한다.
• 선형독립이면 $0=c_1-d_1 = c_2-d_2 = c_n -d_n$을 만족해야 하고 즉 $0=c_1 v_1 + ... c_n v_n$을 만족해야 한다.
• 일부 0은 아닌 순서쌍이 있다면 그 Vecotr는 다른 Vector로 표현할 수 있기 때문에 선형종속적이다.

Basis

• Vector Space $V$의 모든 부분 집합을 $P(V)$라고 할 때 그 안에서 Span Space의 집합과 선형독립인 집합의 교집합을 Basis(기저)라고 한다. Basis는 무수히 많을 수 있다.
• $v$를 $\vec{v} = a \hat{i} + a+ \hat{b}$라고 나타낼 수 있다면 $\hat{i}$와 {\hat{j}는 Basis가 될 수 있다.
• 좌표는 Basis를 이용한 계수의 순서쌍이다. 따라서 Basis에서는 원소의 순서가 매우 중요하다.
• Vector Space V의 Basis 집합 $\beta$가 될 수 있는 집합은 모두 원소의 갯수가 동일하다. 그래서 이를 하나의 특성으로 간주하고 그 원소의 갯수를 우리는 Dimension이라고 부른다.