Linear Mapping, Linear Function, Bijection, injection and surjection

Linear Mapping, Linear Function

• $L: V → W$ 형태로 표기한다.
• 선형사상이 되기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.
  • 1. $L(v_1 + v_2) = L(v_1) + L(v_2)$
  • 2. $L(av) = aL(v)$
• $(x,y)$를 Linear Mapping에 통과시킨다고 할 때 $(x',y')$점이 된다고 할 때 다음과 같이 표기할 수 있겠다.
  • $x' = ax + by$
  • $y' = cx + dy$
• $(a,b,c,d)$만 알아낼 수 있다면 Linear Mapping이 어떤 특징을 갖는지 알 수 있다
• $L: R^n → R^m$으로 보내는 선형함수(Linear Function)의 행렬형태는 다음과 같다.
  
• 식으로 풀면 다음과 같다.$x_{i}' = \sum\limits^n_{j=1} a_{ij}\cdot x_j$

Bijection(전단사), injection(단사) and surjection(전사)

• 전사함수: 정의역$(x)$ → 공역 대응$(y)$에 대해서 여러 $x$가 $y$에 꽂혀도 상관없으니, $y$는 모두 대응되어야 한다. 즉 $\exists{y} \in Y, \exists{x} \in X, s.t f(x)=y$가 성립해야 한다.
  • 선형대수 관점에서 보면 $\forall{w} \in W, \exists{v} \in V, s.t L(v)=w$이다.
    • 즉 ${L(v_1), L(v_2), ... L(v_n)} spans W$이다.
• 단사함수: 공역에서 대응이 되지 않은 $y$가 있어도 되니, 일대일대응은 되어야 한다. 즉 $f(x_1) = f(x_2) → x_1 = x_2$여야 한다.
  • 선형대수 관점에서 보면 $L(v) = L(v') → v= v'$이다.
  • 즉 $L(v) - L(v') = 0, v -v'=0$
  • 이는 $L(v) = 0, v =0$이고,
  • 선형사상을 고려하면 $L(\sum c_i v_i) = 0, \sum c_i v_i = 0$ 이기 때문에
  • {L(v_1), L(v_2), ... L(v_n)}$는 선형독립이다.
• 전단사함수: 정의역과 공역의 모든 원소간에 일대일 대응이 있어야 한다.
• 이 때 $X,Y$의 원소수가 같은 상황에서는 전사 또는 단사함수 하나만 충족하면 나머지 하나는 충족이 된다.
• $L$이 단사함수라면 ${L(v_1), L(v_2), ... L(v_n)}$s는 선형독립이고 $V$와 $W$이 차원이 같다면(원소수), $L$은 전사함수임이 자동으로 만족되어 $L$은 전단사함수가 되기 때문이다.
• 이 부분을 이해해야 역행렬로 넘어갈 수 있다.