Kernel, Image, Isomorphism, Dimension Theorem

Kernel & Image(Range) 

• 두 Vector Space $X → Y$에 대해서 Linear Mapping $F$을 했을 때, Kernel of F($ker F$)는 F(X)=0이 나오는 모든 $x, x \in X$의 Set을 말한다.
• 이 때 $ker F$은 Vector Space  $X$의 부분집합으로 Scala 배, 덧셈에 대해 닫혀있다.
• Image는 "상"이라고도 하고 쉽게 이야기하면 치역이다.
• $F$가 전사함수면 $im F$는 $Y$집합과 동일하다.
• $F$가 단사함수면 Kernel이 영벡터뿐이라는 것이다.

Isomorphism

• 두 Vector Space $V$,  $W$에 대해서 Basis가 다를 뿐 동일한 Vector Space일 때 $V$, $W$는 서로 Isomorphic하다. 그리고 이 Isomorphic한 두 Vector space를 이어주는 Linear Mapping을 Isomorphism이라고 한다.
• 이 때 Linaer Mapping은 전단사 함수이다.

Dimension Theorem

• $dim$ $ker F$ $+ dim$ $im F$ $= dim V$
• $rank(A) + nullity(A) = n$ 이라고도 쓸 수 있고, 이 때 $A$는 $m \times n$ 행렬
• 이 때 알아두면 좋은 개념이 자유변수로 자유변수는 $Ax=0$의 해공간을 나타내기 위해서 사용.
• 자유변수의 갯수를 알기 위해서는 전체 열의 갯수에서 종속변수(leading이 1인) 열의 개수를 제외하면 된다.

References

• 선형대수학 53강: 핵과 치역(kernal and range) [쑤튜브]
• 선형대수학 59강: 차원 정리[쑤튜브]